فرمول حجم اشکال هندسی در ریاضیات

شده تا حالا یادآوری فرمول حجم، محیط و مساحت یک شکل براتون سخت باشه؟

 به خاطر سپردن فرمول حجم اشکال هندسی، یکی از مسائل چالش‌برانگیز برای دانش‌آموزانه. به طور کلی، حجم شکل‌های هندسی مفهومیه که صرفا برای به دست آوردن اندازه داخلی‌ اشکال هندسی چند بعدی به کار میره.

این مفهوم مثل نسبت‌های مثلثاتی زوایای مهم، یکی از مباحث پرکاربرد توی درس ریاضیاته که در کنکور هم خیلی حائز اهمیته. در واقع شکل، به معنای احاطه شدن یک محیطه. شکل به دو صورت دو بعدی و سه بعدی تعریف میشه که اشکال سه بعدی دارای حجم هستن و اشکال دو بعدی فقط محیط و مساحت دارن.
اگه می‌خواین که فرمول حجم شکل‌های هندسی مهم رو یاد بگیرین، در ادامه این مقاله با ما همراه باشین.

حجم شکل‌های هندسی، به مقدار فضای اشغال‌ شده هر شکل در فضای سه‌بعدی گفته میشه. حجم، معمولاً بر حسب واحد مکعب، اندازه‌گیری میشه. به عبارت دیگه، حجم هر جسم یا ظرف، ظرفیت اون برای نگهداری یک مقدار سیاله (گاز یا مایع).

حجم اشکال سه‌بعدی مثل حجم مکعب مستطیل، مکعب مربع، استوانه، مخروط، کره و منشور رو میشه به راحتی و با استفاده از فرمول‌های ریاضی محاسبه کرد؛ در حالی که برای پیدا کردن حجم اشکال پیچیده، باید از حساب انتگرال استفاده کنیم. در این مقاله همه فرمول حجم اشکال هندسی ارائه شده که می‌تونه بهتون در یادگیری کامل این فرمول‌ها خیلی کمک کنه.

کره در هندسه، یک شکل هندسی 3 بعدیه که از مجموع نقاطی تشکیل میشه که در فاصله یکسان از مرکز کره قرار دارن. به این فاصله، شعاع کره گفته میشه و به دو برابر شعاع کره هم، قطر. در واقع قطر کره از اتصال دو نقطه‌ای که دورترین فاصله رو از هم دارن به وجود میاد. فرمول محاسبه حجم کره رو در این قسمت براتون تعریف کردیم که v به معنای حجم و r نماد شعاعه:

در واقع نیم‌کره، همون شکل کره‌ست که از وسط، به دو نیم تقسیم شده؛ در نتیجه برای به دست آوردن حجم نیم‌کره، کافیه فرمول قبلی رو تقسیم بر دو کنین تا به فرمول حجم نیم کره به دست بیاد:

مهم‌ترین فرمول حجم اشکال هندسی، فرمول حجم مکعب مستطیله. مکعب مستطیل یک شکل هندسیه که شبیه جعبه‌ست؛ دارای شش وجه مسطحه که همه اون‌ها مستطیل هستن. تمامی زوایای مکعب مستطیل قائمه هستن. مکعب مستطیل یک نوع منشوره که سطح مقطع اون در هر نقطه یک مستطیله.

این شکل هندسی، از قرار گرفتن 6 وجه در فضای سه بعدی ایجاد میشه و هر یک از این وجه‌ها، تنها با یک وجه دیگه مشترکه. همچنین هر راس این شکل، با رئوس سه وجه دیگه در ارتباطه. برای به دست آوردن حجم مکعب مستطیل، کافیه از فرمول زیر استفاده کنین که a نماد ارتفاع، c نماد طول و b نماد عرضه:

این شکل هم با قرار گرفتن 6 وجه در کنار هم دیگه تشکیل میشه و به دلیل برابر بودن اندازه هر 6 تا وجه، این مکعب رو یک 6 ضلعی منتظم در نظر می‌گیرن. اندازه هر ضلع مربع رو با نماد a نشون میدن و با استفاده از فرمول زیر، می‌تونین به راحتی حجم مکعب مربع رو به دست بیارین:

یکی دیگه از حجم‌های هندسی که خیلی از دانش‌آموزان در یادگیری فرمول حجم اشکال هندسی ممکنه باهاش به مشکل بربخورن، استوانه‌ست. این شکل در واقع از دو صفحه موازی رو به هم و پوشیدگی مشابه به دیوار دور اون‌ها تشکیل شده.

استوانه ترکیب دایره‌ای به شعاع r و مستطیلی با ارتفاع h هست؛ به این حالت که مستطیل در میانه قرار گرفته و یک دایره در بالا و یک دایره در پایین وجود داره. برای محاسبه حجم استوانه، لازمه که شما در ابتدا با استفاده از فرمول مساحت دایره، مساحت یکی از قاعده‌های استوانه که s هست رو به دست بیارین و در ارتفاع ضرب کنین:

منشور، یکی از اشکال هندسیه چند وجهیه. در واقع هر شکلی که چند وجهی بوده و ویژگی های زیر رو داشته باشه، یک منشوره:

البته باید این مورد رو در نظر داشته باشین که چون منشور یک چند وجهی محسوب میشه و شکل‌های چند وجهی مسیر منحنی‌واری ندارن، استوانه به دلیل داشتن قاعده دایره‌ای و منحنی شکل، زیر مجموعه منشور نیست. منشورها رو میشه بر اساس شکل قاعده‌شون مثل مثلثی، مربعی، شش‌ضلعی و غیره دسته‌بندی کرد.

منشورها در هندسه فضایی و نوری کاربردهای زیادی دارن. برای مثال، منشورهای مثلثی می‌تونن نور سفید رو به رنگ‌های مختلف تجزیه کنن. برای به دست آوردن حجم منشور، کافیه از فرمول زیر استفاده کنین که s نماد مساحت قاعده و h هم ارتفاعه:

یکی از اشکال هندسی که شما می‌تونین با استفاده از فرمول حجم اشکال هندسی، به حجمش دست پیدا کنین، مخروطه. این شکل از چرخش یک مثلث حول یکی از راس‌ها تشکیل میشه؛ مثل قیف. از ویژگی های مخروط می‌تونیم به موارد زیر اشاره کنیم:

فرمول به دست آوردن حجم این شکل، ساده‌ست؛ کافیه ارتفاع و شعاع قاعده که یک دایره‌ست رو داشته باشین:

این شکل هندسی، یک قاعده داره که می‌تونه به اشکال مختلف یک چند ضلعی مثل مربع، مثلث، 6 ضلعی و... باشه. وجوه جانبی هرم، به شکل مثلث هستن و در نهایت تمام این مثلث‌ها در قسمت بالای شکل، به یک راس مشترک میشن؛ ارتفاع هرم از راس کشیده میشه و روی قاعده‌اش می‌شینه. برای به دست آوردن حجم هرم، باید از فرمول زیر استفاده کنین:

برای دسترسی آسون و همیشگی شما عزیزان به فرمول حجم اشکال هندسی، گروه آموزشی پرش، فایل فرمول‌های مهم اشکال هندسی رو به صورت PDF براتون آماده کرده. با استفاده از لینک زیر می‌تونین این فایل رو دانلود کنین و همیشه بهش دسترسی داشته باشین:

ممکنه برای خیلی از افراد، یادگیری و به خاطر سپردن فرمول حجم اشکال هندسی، کمی سخت باشه. به همین خاطر می‌خوایم در ادامه مقاله، روش‌هایی رو معرفی کنیم که با به کارگیری اون‌ها میشه فرمول‌های حجم اشکال هندسی رو به خاطر سپرد و از فراموشی‌شون جلوگیری کرد.

یادگیری فرمول حجم اشکال هندسی خیلی مهمه. به این خاطر که این فرمول‌ها به ما کمک می‌کنن تا به راحتی حجم اشکال سه بعدی یا چند بعدی رو محاسبه کنیم، که در خیلی از شغل‌ها و صنایع، نیاز به این مهارت وجود داره. علاوه بر این، یادگیری فرمول حجم اشکال هندسی به افزایش دانش و مهارت‌های ریاضی در خصوص هندسه فضایی کمک می‌کنه و باعث میشه که بتونیم بهتر اشکال سه بعدی و هندسی رو درک کنیم.

به طور کلی، یادگیری فرمول حجم اشکال هندسی می‌تونه به دانش‌آموزان، دانشجوها و حتی افرادی که در شغل‌های مختلف فعالیت می‌کنن، کمک کنه تا در خیلی از موارد محاسباتی و عملی ازش استفاده کنن.

اگه به اطراف خودتون دقت کنین، می‌بینین که دور و بر ما پر از اجسام و اشیایی با اشکال هندسی متفاوت هستن که هر کدوم محیط، مساحت و حجم خودشون رو دارن. به همین خاطر خیلی مهمه که حجم هر کدوم از اون‌ها رو تا حدودی بتونین یاد بگیرین.

مثلا اگه بخواین آشپزی کنین، علاوه بر مواد و دستور پخت باید حجم ظروف رو هم بدونین یا در زمان قدیم اگه اشخاصی در حال ساختن هرم یا معبدی بودن باید حجم اون رو می‌دونستن که به مقدار مورد نیاز برای تهیه سنگ اقدام کنن.

حجم اشکال هندسی در زمینه‌های مختلف علوم کاربرد دارد، این زمینه‌ها عبارتند از:

اکثر دانش‌آموزان تمایل دارن که با بهترین روش درس خواندن آشنا بشن تا بتونن به راحتی درس‌های خودشون رو یاد بگیرن. به طور کلی، برای یادگیری فرمول حجم اشکال هندسی بهتره از روش‌های تصویری و کاربردی استفاده کنین. مثلا:

هر جسم سه‌بعدی، فضایی رو اشغال می‌کنه. این فضا بر حسب حجم اون اندازه‌گیری میشه. حجم اشکال هندسی، به‌ عنوان فضای اشغال شده در محدوده اون جسم، در فضای سه‌بعدی تعریف میشه. همینطور به عنوان ظرفیت جسم هم شناخته میشه.

با استفاده از فرمول حجم، میشه مقدار مورد نیاز برای پر کردن یک جسم رو تعیین کرد. مثل مقدار آب مورد نیاز برای پر کردن یک بطری، یک آکواریوم یا یک مخزن آب. به‌ طور کلی اندازه‌گیری با استفاده از فرمول حجم اشکال هندسی و از طریق محیط، مساحت و حجم انجام میشه.