نسبت‌های مثلثاتی

در این مقاله با چند مورد از نسبت‌های مثلثاتی مهم و نحوه کاربرد اون‌ها در زندگی آشنا میشیم که در حوزه مکانیک، عمران و خیلی حوزه‌های دیگه کاربرد گسترده‌ای دارن.

اکثر افراد برای یادآوری و محاسبه نسبت‌های مثلثاتی، با مشکلات زیادی روبه‌رو میشن؛ فراموش کردن این دسته از موضوعات، باعث میشه که دانش‌آموزان در حل مسائل ریاضی چالش‌های زیادی رو تجربه کنن.

اطلاع از روش‌ها و تکنیک‌های یادگیری نسبت‌های مثلثاتی، به دانش‌آموزان این امکان رو میده که بتونن با تسلط بیشتری مباحث ریاضی رو حل کنن.
در واقع، خیلی از دانش‌آموزان تمایل دارن با تکنیک‌های دقیق یادگیری مباحث ریاضی آشنا بشن. ما در ادامه شما رو با نکات کلیدی یادگیری این مبحث در ریاضی آشنا می‌کنیم.

البته اگه درگیر روزمرگی‌هاتون هستین و فرصت نمی‌کنین این مقاله رو به طور کامل بخونین، پادکست زیر رو گوش کنین و همراه رادیو پادکست پرش باشین❤🎧🔊

نسبت‌های مثلثاتی، یکی از بخش‌های مهم در ریاضیاته که در زندگی کاربردهای زیادی داره و در حرفه‌های مختلف خودش رو نشون میده.

قضایای مثلثاتی زوایای مهم از اهمیت زیادی برخوردارن و برای انتگرال گیری، رفع ابهام حد، حل معادلات و بسیاری موارد دیگه در کنکور ریاضی کاربرد دارن. در این مقاله نسبت‌های مثلثاتی زوایای مهم (Tan, Cos ,Sinو Cot) آموزش داده میشه. اما قبل از رفتن به سراغ بحث، موارد زیر رو یادتون باشه:

تاریخچه نسبت‌های مثلثاتی زوایای مهم

در گذشته‌های دور، ستاره شناس‌های سومری با تقسیم دایره به 360 قسمت، اندازه‌گیری زاویه رو شروع کردن. همچنین بعدها بابلی‌ها، نسبت‌های ضلع‌های مثلث رو مورد بررسی قرار دادن و برخی از خصوصیات این نسبت‌ها رو کشف کردن.

در قرن سوم قبل از میلاد ریاضیدان‌هایی از جمله اقلیدس و ارشمیدس، زاویه‌های محاط در دایره رو مورد بررسی قرار دادن که نتیجه اون کشف فرمول‌ها و قضایایی معادل نسبت‌های مثلثاتی زوایای مهم بود.

در قرن دوم میلادی ستاره شناس یونانی- مصری به نام بطلمیوس، جدول نسبت‌های مثلثاتی خودش رو تحت عنوان جدول بطلمیوس در کتاب آلماگست منتشر کرد. قرن‌ها بعد در دوران قرون وسطا این محاسبات به‌روز شد. در قرن دهم میلادی ریاضیدانان از تمامی تابع‌های مثلثاتی (سینوس، کسینوس، تانژانت، کتانژانت، سکانت و کسکانت) برای حل مسائل مربوط به هندسه مسطحه و کروی استفاده می‌کردن.

زمانی که محققان تاریخچه روابط مثلثاتی زاویه‌های مهم رو بررسی کردن متوجه شدن که این مبحث به سه هزار سال پیش از میلاد برمی‌گرده و با اسناد پیدا شده در کتیبه‌های سنگی مشخص شده که بیشترین کار در زمینه مثلثات به خواجه نصیرالدین طوسی برمی‌گرده.

همچنین، عناوین و اصطلاحات مربوط به مثلثات رو خواجه نصیرالدین طوسی نامگذاری کرده که اول به عربی و بعدها به فرانسوی و زبان‌های دیگه ترجمه شده. بعد از خواجه نصیرالدین طوسی، ریاضیدانانی مثل خوارزمی و ابوالوفا مطالعه مثلثات رو ادامه دادن.

در قرن پانزدهم غیاث‌الدین جمشید کاشانی، ریاضیدان و ستاره شناس ایرانی، برای اولین بار یک توصیف واضح در مورد قانون کسینوس ارائه داد که همچنان در فرانسه این قانون با نام الکاشی شناخته میشه. از قرن هفدهم به بعد، روابط مثلثاتی زاویه‌های مهم توسط ریاضیدانانی مثل آیزاک نیوتن، جیمز استرلینگ و لئونارد اویلر به‌روز شد و به شکل مدرن خودش رسید.

معرفی نسبت‌های مثلثاتی زوایای مهم و اهمیت اون

نسبت‌‌های مثلثاتی زوایای مهم از مفاهیم پایه‌ای و مهم ریاضی مثل فرمول محیط و مساحت اشکال هندسیه که در علوم مهندسی و ریاضی‌، دریایی و هوایی و بسیاری علوم دیگه کاربرد بسیاری داره. به طوری که با حذف مبحث مثلثات از این علوم، نقص بزرگی در حوزه‌های نام برده شده به وجود میاد.

حتی با حذف مفهوم مثلثات از ریاضی، باید بخش بزرگی از فیزیک رو هم حذف کرد. نسبت‌های مثلثاتی در واقع به توابعی اطلاق میشن که رابطه بین زوایای داخلی مثلث‌های قائم‌الزاویه و نسبت اضلاع اون به همدیگه رو بررسی می‌کنن. نسبت‌های مثلثاتی (سینوس، کسینوس و تانژانت) به توابع مثلثاتی و روابط مثلثاتی هم معروف هستن.

دایره مثلثاتی

مبحث هندسه و روابط هندسی، مخصوصا در بخش مثلثات، باعث رشد علوم ریاضی در تحقیقات و در زندگی ما شده. مثلث، یکی از اشکال پایه‌ای محسوب میشه و نقش مهمی در علم ریاضی داره. برای مثال، یک مربع از دو مثلث تشکیل شده؛ مستطیل ترکیب دو مثلث به هم چسبیده‌ست و چند ضلعی از ترکیب چندین مثلث به وجود میاد. بنابراین میشه گفت که دایره و مثلث از پایه‌ای‌ترین و اصلی‌ترین اشکال هندسی هستن.

دایره مثلثاتی مبحثیه که قبل از ارائه هر فرمول و رابطه‌ای باید اون رو به خوبی یاد بگیرین؛ نسبت‌های مثلثاتی گام بعدی یادگیری شما خواهد بود. برای شروع این مبحث باید موارد زیر رو بدونین:

تعاریف و مفاهیم بالا برای هر مثلث قائم‌الزاویه‌ای صدق می‌کنه. بنابراین قبل از وارد شدن به بحث روابط و نسبت‌های مثلثاتی و یاد گرفتن جدول مثلثاتی، باید تعریف‌ها و دایره مثلثاتی رو خوب یاد بگیرین.

مهم‌ترین نسبت‌های مثلثاتی

در کل، ریاضی با خط و نقطه شروع میشه؛ به این شکل که یک خط، نزدیک‌ترین مسیر بین دو نقطه‌ست. با خط میشه اشکال متفاوتی خلق کرد که یکی از اون‌ها مثلثه. از مهم‌ترین فرمول‌های مثلثاتی موارد زیره:

جدول نسبت‌های مثلثاتی زوایای مهم

دونستن نسبت‌های مثلثاتی زوایای مهم بهتون کمک می‌کنه که در زمان حل سوال، سریع‌تر به جواب برسین. خیلی هم ساده‌ست؛ با چند بار خوندن جدول زیر، می‌تونین به خوبی این نسبت‌های مثلثاتی رو حفظ کنین:

فرمول‌های مثلثات 2 و 3 برابر کمان

مواردی وجود دارن که در اون سینوس یا کسینوس دو برابر کمان داده میشه و بسط اون خواسته میشه یا برای محاسبه حد و انتگرال و مشتق فرمول‌های زیر مورد نیازه:

Sin2x = 2sinx.cosx
Cos2x = 2cos²x-1
Cos2x = cos²x – sin²x
Cos2x = 1-2sin²x
Sin(3x) = 3sinx – 4sin³x
Cos(3x) = 4cos³x - 3Cosx

فرمول‌های مهم مثلثات تبدیل جمع به ضرب و ضرب به جمع

دونستن فرمول‌های مهم مثلثاتی، بهتون کمک می‌کنه که راحت‌تر به سوالات پاسخ بدین. سعی کنین هر فرمول رو علاوه بر حفظ کردن، به صورت مفهومی درک کنین تا بتونین بهترین نتایج رو به دست بیارین.

فرمول‌های بسط نسبت‌های مثلثاتی

بسط نسبت‌های مثلثاتی یکی از ابزارهای مهم در ریاضیاته که برای تبدیل ترکیب‌های پیچیده مثلثاتی به فرم‌های ساده‌تر و قابل حل‌تر استفاده میشه. فرمول‌های بسط، مثل فرمول‌های جمع و تفاضل برای سینوس و کسینوس، به دانش‌آموزان این امکان رو میده که با استفاده از خواص هندسی مثلثات، روابط پیچیده رو به راحتی حل کنن.

بهترین روش یادگیری نسبت‌های مثلثاتی

مثلثات موضوعی بسیار چالش‌برانگیز در ریاضیاته که تعداد زیادی از دانش‌آموزان از درک اون عاجزن. مثلثات نه تنها در مقطع اول متوسطه، بلکه برای پایه یازدهم و دوازدهم اهمیت بسیار زیادی داره. البته مثلثات هر چقدر هم که سخت به نظر برسه، باز هم با تکرار، تمرین و یادگیری نکات مهم در مطالعه مثلثات میشه به راحتی از پس این مبحث براومد.

به طور کلی، دانش‌آموزان در هر پایه تحصیلی که هستن باید به این موضوع مهم توجه کنن که تکرار مطالب آموزشی، راهی برای یادگیری بهتر مطالب درسیه. ریاضی یک درس کاملا مفهومیه که دانش‌آموزان تنها با استمرار در مطالعه می‌تونن مطالب اون رو درک کنن. با توجه به اهمیت درس ریاضی و فرمول‌های مثلثات، گروه آموزشی پرش با ارائه یک پکیج آموزشی یادگیری فرمول‌های مثلثاتی رو برای دانش‌آموزان راحت‌تر کرده.

اگه بتونین رابطه بین اضلاع و زوایا رو یاد بگیرین و فرمول‌ها رو درک کنین، به راحتی غول مثلثات رو شکست میدین. در ادامه با بهترین روش یادگیری مثلثات آشنا خواهید شد. پس با ما همراه باشین.

از معادلات سخت شروع کنین

در معادلات ریاضی دو طرف وجود داره؛ به سمت راست معادله RHS و به سمت چپ اون LHS گفته میشه. یکی از بهترین تکنیک‌های یادگیری مثلثات و حل مسائل اون، اینه که همیشه از سمت سخت معادله شروع کنین؛ فرقی نمی‌کنه که سمت راست یا سمت چپ باشه. کسرها و مجهول رو به ساده‌ترین شکل ممکن ساده کنین و در نهایت ببینین که چه چیزی براتون باقی مونده.

چرا از طرف سخت معادله شروع کنیم؟ اول این که ذهن شما تازه نفسه و توان بیشتری برای مقابله با سوالات سخت داره. دوم این که با حذف قسمت‌های اضافی معادله به نتیجه نهایی نزدیک‌تر میشین. اینطوری از سوال خیلی سخت به یک معادله پیش پا افتاده میرسین.

بهترین منابع رو انتخاب کنین

هر مهارتی رو که بخوایم یاد بگیریم، باید کسی رو به عنوان استاد انتخاب کنیم که به صورت کامل صلاحیت تدریس اون مطلب رو داشته باشه. اگه بخواین مطلب مورد نظرتون رو از شخص یا منبع اشتباهی یاد بگیرین، ممکنه درگیر اشتباهات مختلفی در فهم اون مبحث بشین.

به همین دلیل، خیلی مهمه که برای یادگیری این مبحث از یک منبع درست استفاده کنین. پیشنهاد ما به شما، استفاده از بسته معلم خصوصی ریاضی دهم پرشه. با استفاده از این بسته، می‌تونین صفر تا صد ریاضی رو به خوبی یادبگیرین و در امتحانات خودتون بهترین نتایج رو کسب کنین.

اصول پایه مثلثات رو به خوبی یاد بگیرین

همه ما قبول داریم که مثلثات، سخت و تا حدی پیچیده‌ست. به هر حال برای رسیدن به هدف باید از سد اون عبور کنیم. همه سوالات، فرمول‌ها، قضایا و برهان‌ها در مثلثات از چند اصل بنیادی نشات می‌گیرن. اگه بتونین صفر تا صد نکات این دو اصل مهم رو یاد بگیرین، حل سوالات مثلثات مثل آب خوردن میشه:

به سینوس و کسینوس برگردین

همونطور که در قسمت‌های بالا دیدین، تمامی فرمول‌های سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت به همدیگه مربوط میشن. اگه به یک مسئله غیرقابل حل برخوردین، بهتره طرفین معادله رو به یک متغیر تبدیل کنین. مثلا اگه در معادله هم سینوس دارین، هم تانژانت و هم کتانژانت، تمامی کسرها رو در صورت امکان به سینوس ساده کنین.

اینطوری به یک عبارت استاندارد میرسین. از طرفی کاهش تعداد متغیرها به شما کمک می‌کنه تا دید ساده‌تری به مسئله داشته باشین و گیج نشین.

یک مسئله و هزاران راه حل!

حل سوالات مثلثات یک هنره و اغلب راه‌های مختلفی برای رسیدن به نتیجه وجود داره. بعضی از راه حل‌ها خیلی کاربردی و بعضی دیگه گیج‌کننده هستن. اما نکته مهم اینه که از هر راهی که به جواب برسین باز هم نمره اون سوالات رو می‌گیرین. اینجاست که بحث مدیریت زمان مطرح میشه.

اگه یک مسئله 3 راه حل مختلف داره، همه سه راه حل رو بررسی کنین و ببینین استفاده از کدومش منطقی‌تره. البته در قدم‌های اول یادگیری مثلثات، از هر روشی که به ذهنتون میرسه استفاده کنین. منتظر نباشین که به راه ساده‌تری برسین. شجاعت داشته باشین و اولین ایده‌های خودتون رو بیان کنین.

به فرمول‌های مهم توجه کنین

در مثلثات بعضی از فرمول‌ها از بقیه کاربردی‌تر هستن و در مسائل بیشتری مورد استفاده قرار می‌گیرن. یکی از این فرمول‌ها، معادله فیثاغورثه. به شما پیشنهاد می‌کنیم که این معادله و فرمول‌های مشتق شده از اون رو به خوبی یاد بگیرین.

دانش‌آموزان با تسلط در فرمول‌های اصلی می‌تونن تمامی مطالب رو به شکل مفهومی‌تری یاد بگیرن.

تمرین، تمرین و تمرین!

همه روش‌های یادگیری مثلثات در صورتی کاربرد دارن که شما به طور مستمر مطالعه و تمرین داشته باشین. هیچ تکنیکی برای رسیدن به تسلط کامل در مثلثات بدون تمرین وجود نداره.

ما در دنیای ماتریکس زندگی نمی‌کنیم که با انتقال یک‌باره اطلاعات به مغز همه چیز رو یاد بگیریم! ما انسان هستیم و در دنیای واقعی برای رسیدن به اهدافمون باید تلاش کنیم. شما هم این اصل مهم در یادگیری رو به هیچ عنوان فراموش نکنین. حل روزانه چند تست می‌تونه کمک ویژه‌ای به ارتقای توانمندی‌های شما بکنه.

بهترین روش برای یادگیری عمیق‌تر مطالب ریاضی، تکرار و استمرار در یادگیریه؛ بهتره که دانش‌آموزان عزیز در هر پایه تحصیلی که هستن به صورت روزانه مطالب آموزشی رو تکرار کنن.

کاربرد نسبت‌های مثلثاتی زوایای مهم در سایر علوم

ریاضی مادر علوم مختلفه؛ به همین دلیل، هر مبحثی که توی ریاضی یاد می‌گیریم در زمینه‌های مختلفی کاربرد داره. مثلثات هم از این قاعده مستثنی نیست. این مبحث در حوزه‌های خیلی زیادی کاربرد داره که دونستنشون خالی از لطف نیست.

جهت‌یابی

از مثلثات برای تعیین موقعیت‌های جغرافیایی در دریانوردی، کشتی‌رانی و ناوبری به وسیله ابزارهایی مثل سیستم موقعیت‌یاب جهانی و هوش مصنوعی استفاده میشه.

افراد با استفاده از علم مثلثات می‌تونن بسیاری از مشکلات خودشون رو در جهت‌یابی موقعیت‌ها برطرف کنن. تسلط در این علم، عاملی مهم برای موفقیت افراد در زمینه جهت‌یابی موقعیت‌های جغرافیاییه.

ستاره‌شناسی

در قرن‌های گذشته از قضایای مثلثات برای جهت‌یابی و پیدا کردن مکان خورشید، ماه و ستاره‌ها و همینطور پیش‌بینی خورشید گرفتگی و ماه گرفتگی استفاده میشد. اما در حال حاضر از مثلثات برای محاسبه فاصله تا ستاره‌های مجاور و سیستم‌های ناوبری ماهواره‌ای استفاده میشه.

به طور کلی فرمول‌های مثلثاتی و زوایای مثلثاتی، تحولی بزرگ در علم ستاره‌شناسیه.

نقشه‌برداری

در نقشه‌برداری از زمین، برای محاسبه طول، مساحت و زوایای نسبی و در مقیاس بزرگتر برای محاسبه فاصله بین نشانه‌ها و نقشه‌کشی جغرافیایی از قضایای مثلثاتی زوایای مهم استفاده میشه.

موسیقی

میشه گفت که مثلثات، از اصول مهم در تئوری موسیقی به شمار میرن. امواج صوتی همواره بر اساس الگوهایی تکرارشونده جابه‌جا میشن؛ سینوس و کسینوس از جمله توابعی هستن که شیوه گسترش امواج رو توضیح میدن.

خوبه بدونین که منحنی سینوسی می‌تونه به تنهایی یک نت رو تعریف کنه و به این ترتیب، ترکیب چند منحنی معرف یک آکورد خواهد بود. اگه امواج صوتی رو به صورت منحنی‌های مورد نظر به تصویر بکشیم، می‌تونیم ساخت موسیقی در سیستم‌های رایانه‌ای رو به شکل مطلوب، به انجام برسونیم.

بدون شک برخلاف تصور خیلی از افراد، علم مثلثات در زمینه‌های گوناگون کاربرد‌های زیادی داره. فرمول‌های مثلثاتی در علم موسیقی هم، جایگاه ویژه خودشون رو دارن.

این‌ها فقط بخشی از کاربردهای گسترده مثلثات در علوم مختلف بود. اگه دوست داشتین، می‌تونین درباره موارد زیر هم خودتون مطالعه کنین:

جمع‌بندی

اگه می‌خواین در کنکور و آزمون‌های مختلف به موفقیت برسین، باید سرعت و دقت خودتون رو بالا ببرین. داشتن تسلط روی نسبت‌های مثلثاتی می‌تونه سطح عملکرد شما رو در مواجه با سوالات مربوط به این مبحث به شدت بالا ببره؛ در نتیجه نمرات خوبی رو در درس ریاضی برای شما به ارمغان بیاره.

در این مقاله سعی کردیم اطلاعات لازم رو درباره نسبت‌های مثلثاتی بهتون بدیم. با مطالعه اون‌ها، می‌تونین خیلی بهتر برای امتحانات آماده بشین و برای نمرات بالا تلاش کنین. اما اگه دوست دارین در مورد هم نهشتی مثلث‌ها بیشتر بدونین، پیشنهاد می‌کنیم مقالات مربوط به این موضوع رو در وبلاگ پرش خوب مطالعه کنین.